Hiperboloide De Una Hoja
El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Estas superficies son de dos clases, como queda obvio en las figuras. Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya ecuación es, en el sistema de coordenadas (ver el esquema suiguiente). La revolución alrededor del eje de simetría rojo da un hiperboloide conexo, mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas. Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el sistema de coordenadas, cuyos ejes son los de simetría. Sean X e Y las coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad: es decir, luego, identificando los coeficientes de sendos vectores: La ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)·(X+Y) = 1, luego: X 2 - Y 2 = 1. Si se gira alrededor del eje de los Y, de Vector director entonces se otorga a la tercera coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la misma forma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»: X 2 + Z 2 - Y 2 = 1.
Hiperboloide de una hoja oficio
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Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje de los X, de vector director entonces Z aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»: X 2 - Y 2 - Z 2 = 1.
Las ecuaciones de estas elipses son La elipse más pequeña, corresponde a las traza en el plano HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Como se ve en la figura, una grafica de Es llamada apropiadamente hiperboloide de dos hojas. Para la ecuación Describe la curva elíptica de intersección de la superficie con el plano Paraboloide La grafica de una ecuación de la forma Se llama paraboloide. En la Figura vemos que para los planos paralelos al plano cortan las superficies en elipses cuyas ecuaciones son Cono Las graficas de una ecuación de la Son llamados cono elípticos (o circular, si a=b). Para arbitrario, los planos paralelos al plano cortan la superficie en elipses cuyas ecuaciones son En la siguiente figura se muestra una grafica característica hiperbólico La última superficie cuádrica que consideraremos se conoce como paraboloide hiperbólico y es la gráfica de toda ecuación de la forma Observe que para los planos paralelos al plano cortan la superficie en hipérbolas cuyas En la figura, se muestra la forma característica de la silla de montar de un paraboloide hiperbólico.
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Es decir que, fundamentalmente, tienen la misma forma. En el caso particular que, entonces el hiperboloide es de revolución. Ecuación paramétrica [ editar] En un espacio euclídeo tridimensional, los puntos de la superficie del hiperboloide pueden ser parametrizados de la siguiente manera: Parametrización sin usar las funciones hiperbólicas: Área [ editar] La superficie de un hiperboloide de una hoja de altura h, situado entre los planos y y de sección transversal circular, es decir,. Su ecuación queda de la forma. Si Demostración En este caso vamos a utilizar la parametrización: Para el cálculo del área vamos a hacer uso de las propiedades de la integral de superficie: Volumen [ editar] El volumen comprendido por la función del hiperboloide de una hoja y los planos z=h/2 y z=-h/2. Para hallar el volumen vamos a utilizar la propiedades de la integrales múltiples. Utilizamos coordenadas cilíndricas: Secciones [ editar] Sección de un hiperboloide de una hoja. Sección de un hiperboloide de dos hojas.
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Superficies cuádricas La ecuación de la esfera, es solo un caso particular de la ecuación de segundo grado. Cuando no son todos nulos, se dice que la gráfica de una ecuación de la forma es una superficie cuádrica, si describe un lugar geométrico real. Por ejemplo El cilindro elíptico Como el cilíndrico parabólico Son superficies cuádricas, Concluiremos este informe considerando seis superficies cuádricas adicionales y bien definidas. Elipsoide Se dice que la gráfica de cualquier ecuación de la forma Es un elipsoide. Para la ecuación Representa una familia de elipses(o circunferencia si a=c) paralelas al plano que se forman cortando la superficie mediante planos. Eligiendo, cada uno a su vez, encontrarías que los cortes de la superficie son elipse (o circunferencias) paralelas a los planos respectivamente. HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA La grafica de una ecuación de la forma Se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un plano paralelo al plano corta la superficie en secciones transversales elípticas (o circulares, si a = 0).
Razón por la cual a menudo se han utilizado en estructuras altas como torres de TV, de almacenamiento de agua o con finalidades estéticas. Depósito elevado de agua. Rusia, 1896. Primera estructura con forma de hiperboloide diseñada y construida por el ingeniero ruso Vladimir Shukhov. Consistía en un depósito elevado de agua de 37 metros de alto realizado para la Exposición de Rusia de 1896. Fuente: Wikimedia Commons Faro de Adziogol. Ucrania, 1911. Estructura hiperboloide formada con barras de acero en celosía. Opera como uno de los faros del estuario del Dnieper. Diseñado en 1910 por Vladimir Shukhov y construido en 1911 alcanza una altura de 64 metros. Es accesible sólo por barco, la casa del responsable del faro se encuentra en su base. Fuente: Urbipedia Torre Shukhov. Moscú, Rusia, 1922. Conocida también como la torre Shabolovka, es una torre de radio de 160 metros diseñada también por Vladimir Shukhov y construida entre 1920 y 1922 durante la Guerra Civil Rusa. El diseño inicial alcanzaba los 360 metros de altura pero se redujo a 160 por la escasez de acero que existía en Rusia en esos momentos.